高等数学概念、公式及常用结论

内容整理来源于网络，可能存在疏漏和错误，若有侵权请 联系作者 jeanhua_official@outlook.com 删除

第一章 函数 极限 连续

常用的基本极限

1-无穷型 极限常用结论

常用的等价无穷小

x→∞，有时也可以使用等价无穷小代换。只要函数内部是无穷小即可。比如，x→∞时，sin(1/x)~1/x。

洛必达法则求极限

什么时候可以用洛必达法则

洛必达法则的适应类型

泰勒公式求极限

略，见下一章

利用单调有界准则求极限

1. 证明极限存在（单调有界）
2. 等式两端取极限进行运算

求极限时的常用结论

1.先证明有界性

在利用单调有界准则求极限的时候，几个常用不等式一定要想到下列不等式来证明有界性！！！

1. 两个正数乘积或者两个正数相加的时候：
   

2. 三个（或以上）正数相乘相加：
   算数平均值、几何平均值

2.再证明单调性

1. 后项减前项
2. 后项比前项

无穷小量阶的比较（其实就是0比0极限计算）

1. 洛必达法则
2. 等价代换
3. 泰勒展开式

第二章 导数与微分

导数与微分的概念

导数与微分的几何意义

微分dy是切线上的改变量。用dy来代替$\Delta$y,几何上是用切线上的改变量来代替实际上曲线上的改变量。换言之，再微小的局部，用直线的均匀变化来代替曲线的非均匀变化。

导数定义证明常用方法

连续、可导、可微之间的关系

倒数公式及求导法则

基本初等函数的导数公式

隐函数求导法

反函数的导数

高阶导数

常用的高阶导数公式

高阶导数求导方法：

1. 直接使用公式
2. 求一阶导数，二阶导数…归纳规律

第三章 微分中值定理及导数应用

微分中值定理

费马引理、罗尔定理

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理几何意义：曲线上至少有一点的切线，和连接两端点的弦是平行的。

柯西中值定理

微分中值定理的关系

微分中值定理的本质都是用来建立导数和函数之间的联系。当题目给我们导数的条件，让我们研究函数，或者相反。我们就应该想到使用微分中值定理。

上面四个定理都是用来建立一阶导数和函数之间的关系，当我们需要建立高阶导数与函数之间的关系时，往往使用泰勒公式。

泰勒公式

泰勒展开式的意义

1. 建立f(x）和高阶导数的关系·
2. 用多项式来逼近f(x)。因为多项式求极限、导数和积分都很简单。

皮亚诺余项和拉格朗日余项的比较

• 皮亚诺余项称为（局部泰勒公式）。因为只能保证误差在$x$充分靠近$x_0$ 的时候比较小。

• 拉格朗日余项（整体）。在n趋向无穷的时候在一个大的范围内都是趋向于0的。

• 皮亚诺余项-局部性态-极限、极值

• 拉格朗日余项-整体性态-最值、不等式

常用的泰勒公式

泰勒公式记忆方法

其他几个泰勒展开式可以通过等价代换推导

导数应用

极值

最值（最大值、最小值）

曲线的凹凸性

拐点

渐近线

快速判断、找到斜渐近线

首先几何上理解渐近线：
曲线上的一个动点，沿着曲线趋向于无穷远时，这个点到直线之间的距离，记作d。如果距离d趋向0，那么这条直线就叫做曲线的渐近线。
如果这条直线是水平的，那就是水平渐近线。如果直线是垂直的，就是垂直渐近线。如果直线是斜的，那就是斜渐近线。

如果一个曲线能够写成一个线性函数（ax+b）加上趋向0的数的形式。那么这个曲线就有斜渐近线，且那个线性函数就是该曲线的斜渐近线。

方程的根（证明）

不等式的证明

常用不等式、基本不等式、经典不等式

中值定理证明题

第四章 不定积分

不定积分的概念与性质

原函数存在定理

不定积分的性质

不定积分基本公式

三种主要积分法

第一换元积分法（凑微分法）

常见的凑非分形式：

(3)很常用

第二换元积分法（三角代换去根号 ）

分部积分法

三个常用的积不出的积分

三类常见可积函数积分

有理函数积分

部分分式法：把分母分解因式分解到不能再分解，然后进行拆项，（这里可以通过初等数学里拆项裂项技巧进行操作）然后逐个积分。考试中该方法用得很少，基本都是特殊方法

三角有理式积分

三角有理式可以通过万能代换法，一定能做出来，但是运算量很大。尽量使用特殊方法。

一般三角函数次数比较低的积分适合用万能代换，如果方次高的话，代换完了，有理式的方次也很高，比较麻烦。

简单无理函数积分

对于此类函数积分，很少能找到简单方法，所以一般都是用这种一般方法。

第五章 定积分与反常积分

定积分的概念

定积分的性质

积分上限的函数

微积分第一基本定理

定理

定积分的计算

利用已有公式（华氏公式）

计算n项和极限时，如何判断使用夹逼原理还是定积分的定义

1. 计算n项和极限时，需要首先判断n项中的变化部分和主体部分。
2. 用变化部分比上主体部分，当n趋向于无穷大时，如果等于0，那么说明变化部分是主体部分的次量级，这时候用夹逼原理。如果二者之比为非零常数，那么说明是同量级，这时候用定积分的定义来计算（提1/n可爱因子）。

定积分几何意义算定积分的值

两个常用基本结论：

无穷区间上的反常积分

上述极限存在，则称反常积分收敛；反之，则称其发散。

常用结论（p积分）

无界函数的反常积分

常用结论（p积分）

常考题型：

1. 反常积分的敛散性（使用定义，使用p积分）
2. 反常积分的计算

第六章 定积分的应用

几何应用

平面图形的面积

这两个公式可以算，或者可以直接对1做个二重积分，也能算出来面积。

旋转体体积

该公式可以用，但下面有更一般方法。

1. 环绕x轴旋转： 竖带绕着x轴旋转，形成一个以x轴为圆心的薄原片，然后再从a到b积分。

2. 环绕y轴旋转： 竖带绕着y轴旋转，形成薄圆筒，把这个圆筒从某处截断，展开成一个长方体。长方体的长度就是圆筒的周长2*pi *x；长方体的截面积等于高度f(x)c乘以宽度dx。

注意：上面的方法可以用，但是同样的，能够有更加一般、简单的方法来处理这一类题目。
可以使用二重积分来解决这类问题。

第七章 微分方程

常微分方程的基本概念

一阶微分方程

可分离变量的方程

齐次微分方程

一阶线性微分方程

注意：只要加最后面一个常数C，前面的积分都不用加常数，而且前面积分积出来ln(x)都不用加绝对值。

高阶线性微分方程

方程（1）的两个解线性无关的充要条件是它们之比不为常数。

常系数齐次线性微分方程

虽然这个方法是用于二阶微分方程，但是三阶乃至于更高阶其实都适用。比如三阶方程解出来三个根，那么把这些根所对应的解加起来就能得到三阶微分方程的解。

### 常系数非齐次线性微分方程

差分方程

第八章 多元函数微分学

多元函数的极限

多元函数的连续性

偏导数

高阶偏导数

全微分

连续、可偏导及可微之间的关系

复合函数微分法

全微分形式的不变性

隐函数微分法

求偏微分的两种方法

1. 直接对于给定的公式两端对x求偏导，整理得出z对x的偏导。z对y的偏导同理。注意：在使用此方法时，把z作为x，y的函数并进行求导。
2. 使用上述公式求偏微分。注意：当对大F求x的偏导时，要把z当做常数来处理，千万不要当做函数继续求导！！！
3. 利用微分形式不变性。把dz用dx和dy表达出来。

无约束极值

条件极值及拉格朗日乘数法

最大值、最小值

略

第九章 二重积分

二重积分的概念及性质

二重积分的计算

利用直角坐标计算

利用极坐标计算

利用函数的奇偶性计算

利用变量的轮换对称性计算

第十章 无穷级数

常数项级数

级数的审敛准则

正向级数

交错级数

任意项级数

幂级数

注意：
当遇到缺项的幂级数的时候，不能直接用上面的这个公式，计算方法如下：

幂级数的性质

函数的幂级数展开

几个常用的展开式